Non ti rende triste che la funzione che sembra essere così pulita f (x) = 1 / x abbia una discontinuità che è così brutta da x = 0?

Nella risposta di Dave Williamson puoi vedere che è una bellissima iperbole.

Ora, se scambiate gli assi ye x vedrete che la discontinuità diventa l’asintoto orizzontale, “avvicinato continuamente”, e ora quest’ultima è la discontinuità.

Quindi, la differenza tra una “brutta” (polo) discontinuità e un bel asintoto orizzontale è nella scelta dell’orientamento dell’asse. Geometricamente parlando, entrambi sono effettivamente gli stessi in questo caso.

E la ciliegina sulla torta: in variabili complesse Hyperbola e Circle sono la stessa varietà, sempre in un diverso orientamento:
Y = 1 / X
(XX + YY = 1
XX – YY = 1)

… E sembra così (vedi il mio logo :-):

L’X-plane è il “bel asintoto orizzontale”, il piano Y la “brutta discontinuità”. Guarda come sono i loro uguali geometrici, due lame di una varietà.

Più alle mie pagine
brolproef
QB-Complex

Le impressioni possono essere ingannevoli.

Hai detto che la mappatura [matematica] f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] definita da [math] f (x) = 1 / x [/ math] “sembra essere così pulita” . Bene, se per ‘pulito’ intendi ‘continuo per tutto [matematica] x \ in \ mathbb {R} [/ matematica]’, allora [matematica] f [/ matematica] non è ‘pulito’. Ed è per questo che non sono triste perché ha una discontinuità: so che la mappatura [matematica] f [/ matematica] non è ‘pulita’.

In generale, puoi aspettarti che qualsiasi funzione razionale non sia “pulita”.

  1. Questa non è una funzione.
  2. Inoltre non ha una discontinuità.

Quando le persone usano questa notazione, ciò che generalmente intendono è:

[math] f: \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {R} [/ math]

[matematica] x \ mapsto x ^ {- 1} [/ matematica]

Questa funzione è continua ovunque e se eliminiamo [matematica] 0 [/ matematica] nel co-dominio è una biiezione.

Ciò che potremmo anche significare è

[math] f: \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \} \ to \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \} [/ math]

[matematica] 0 \ mapsto \ infty [/ matematica]

[matematica] \ infty \ mapsto 0 [/ matematica]

[matematica] z \ mapsto \ frac {1} {z} [/ math], altrimenti

Questa funzione è definita in [matematica] 0 [/ matematica], inoltre è continua ovunque (con la topologia di un punto di compattazione) e anche biiettiva. Si nota che tutto può essere definito in termini di limiti qui.

No, non proprio. La funzione ha un bell’aspetto, e dipende dalla tua rappresentazione del grafico e dal fatto che qualcosa sia definito nel tuo sistema ([matematica] \ sqrt {x} [/ matematica] è discontinuo nei numeri reali e continuo nel complesso numeri). Ad esempio, nella sfera di Riemann, [math] f (z) = \ frac {1} {z} [/ math] è interamente continuo. (Infatti, tutte le funzioni razionali sono continue).

Haha. Si. Hai posto questa domanda sentendoti molto triste a riguardo. Quindi, mi rende triste vederti triste per questo. In realtà quelli che fanno l’opposto del normale (f (x) = x) soffrono molto in questo modo.

Ma nulla può essere fatto su di esso. Le mie più sentite condoglianze a f (x) = 1 / x. Possa Dio dare a questa funzione il coraggio di elevarsi al di sopra di esso.

La discontinuità scompare se si avvolge la linea reale in un cerchio. 1/0 va al punto all’infinito dove le due estremità della linea reale si uniscono. In coordinate omogenee sullo spazio proiettivo reale 1-dimensionale, [x, y] è mappato su [y, x].

È buffo che tu pensi che sia brutto. Penso che questo grafico, che mostra chiaramente la discontinuità, sia bello.

Infatti non dovrebbe essere possibile “vedere” la discontinuità in x = 0, o in f (x) = infinito, poiché sono asintotici e non raggiungono mai i limiti, quindi fai quello che faccio e fai finta di non essere lì, almeno per la maggior parte degli scopi. Dividere per zero è sempre vietato e raramente utile. E a tutti gli effetti rallegrare.

Sì a x = 0, improvvisamente salta all’infinito …. Quindi discontinuo

Cerco di non essere coinvolto emotivamente con le mie funzioni.

Non è una risposta matematica logica che abbia senso, quindi sono felice.

La bellezza è relativa.

Secondo la maggior parte dei criteri, direi che la discontinuità di 1 / x non è brutta. Dopo tutto, è solo uno, non una quantità infinita.